5.3.1 Bài toán điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu LQR mô hình ¼ ô tô với hệ thống treo bán chủ động. 136

5.3.2 Xây dựng hàm mục tiêu. 137

5.3.3 Xác định hệ số cản của giảm chấn bán chủ động. 139

5.4 Kích thích mặt đường. 140

5.4.1. Nguồn kích thích hình sin. 140

5.4.2. Nguồn kích thích dạng bước nhảy. 141

5.5 Kết quả mô phỏng. 141

KẾT LUẬN.. 149

TÀI LIỆU THAM KHẢO...150

LỜI NÓI ĐẦU

   Ngày nay các bài toán của lý thuyết điều khiển tối ưu đang được nghiên cứu áp dụng nhiều trong các lĩnh vực kỹ thuật như tự động hóa, cơ điện tử, cơ khí và ô tô, vv… Trong đồ án này, giới hạn trình bày những vấn đề cơ bản của lý thuyết “Điều khiển tối ưu hệ động lực tuyến tính hệ số hằng số bằng cách sử dụng bộ điều khiển LQR”

   Đồ án này gồm 5 chương như sau:

Chương 1: Tính điều khiển được và tính quan sát được. Nội dung của chương này tập trung vào việc phân tích tính điều khiển được và quan sát được của các hệ động lực thông qua các định lí về điều khiển và quan sát của Kalman và Hautus. Đồng thời đưa ra các ví dụ cụ thể để làm rỏ hai định lí này.

Chương 2: Ổn định của các hệ động lực tuyến tinh. Nội dung của chương này phân tích tính ổn định và ổn định hóa của các hệ động lực. Đưa ra các tiêu chuẩn để kiểm tra tính ổn định của hệ và thông qua các ví dụ cụ thể để làm rỏ các tiêu chuẩn này. Bài toán ổn định hóa là cầu nối giữa lý thuyết điều khiển và lý thuyết ổn định.

Chương 3: Điều khiển tối ưu các hệ tuyến tính liên tục bằng bộ điều khiển LQR. Ở chương này tác giả trình bày chi tiết về bộ điều khiển tối ưu LQR, đưa ra các thuật giải để tìm bộ điều khiển và có ví dụ minh họa.

Chương 4: Điều khiển tối ưu của con lắc ngược bằng bộ điều khiển LQR. Ở chương này áp dụng lý thuyết trình bày trong chương 3, điều khiển mô hình con lắc đơn và con lắc ngược kép.

Chương 5: Điều khiển tối ưu hệ thống treo ¼ ô tô bằng bộ điều khiển LQR. Ở chương này là việc áp dụng tất cả các lí thuyết đã nghiên cứu ở 3 chương trên vào mô hệ thống treo ¼ ô tô, thông qua việc so sánh giữa hai phương pháp điều khiển tối ưu và điều khiển bị động.

   Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn: GS. TSKH……………. đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện đồ án tốt nghiệp. Những bài giảng, tài liệu tham khảo, sự hướng dẫn tận tình và cả phương pháp làm việc của thầy là nền tảng giúp em có thể hoàn thành tốt đề tài tốt nghiệp được giao. Đồng thời em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong bộ môn Cơ học ứng dụng - Viện Cơ khí - Trường đại học Bách Khoa Hà Nội đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành đồ án này.

   Trong quá trình hoàn thành đồ án, em đã rất cố gắng nhưng sẽ không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến tham gia, góp ý quý báu để đồ án của em được hoàn thiện hơn.

   Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

                                                                     Hà Nội, ngày … tháng … năm 20…

                                                                 Sinh viên thực hiện

                                                                 …………….

CHƯƠNG 1

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA CÁC HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH

   Một nguyên tắc luôn phải tuân thủ khi tìm lời giải cho một bài toán, có thể là bài toán thuộc lĩnh vực kỹ thuật, nhưng cũng có thể là thuộc lĩnh vực khác như xã hội, kinh tế hay tự nhiên, là trước khi bắt tay vào công việc tìm lời giải ta phải xác định xem có thực sự tồn tại hay không lời giải của bài toán đó. Ở bài toán điều khiển cũng vậy. Nói chung một bài toán điều khiển có hai phần:

* Xác định những tính hiệu điều khiển  để đưa hệ từ một điểm trạng thái ban đầu tới một điểm trạng thái khác. Ví dụ, hệ đang làm việc ổn định ở trạng thái  thì có tính hiệu nhiễu tác động vào hệ làm cho hệ đi ra khỏi điểm làm việc ổn định đó và chuyển tới một điểm trạng thái mới  không mong muốn nào đó. 

* Tìm trong số những tính hiệu  đã xác định một (hoạc nhiều) tính hiệu mang đến cho quá trình chuyển đổi đó một chất lượng như đã yêu cầu. Chẳng hạn trong số các tính hiệu có khả năng đưa hệ từ  về  thì phải xác định một tiêu chí sao cho với nó, chi phí cho quá trình chuyển đổi là thấp nhất.

1.1 Một số các định nghĩa

Trong đó u là vectơ điều khiển có m phần tử, x là vectơ trạng thái có n phần tử, y là vectơ đo có m phần tử, A  là ma trận hệ cỡ , B  là ma trận điều khiển cỡ , C  là ma trận đo cỡ

Định nghĩa 1. Hệ động lực (1.1)  là điều khiển được hoàn toàn, nếu cho trước một trạng thái ban đầu  tùy ý và một trạng thái nào đó thì sẽ tồn tại một thời điểm  hữu hạn và một hàm điều khiển  xác định trong khoảng thời gian , sao cho quỹ đạo của hệ (1.1) xuất phát từ  ở thời điểm t=0 sẽ chuyển đến  tại thời điểm

Định nghĩa 2. Hệ động lực (1.1) và (1.2) là quan sát được hoàn toàn, nếu với trạng thái ban đầu  nào đó, sẽ tồn tại một thời điểm  hữu hạn sao cho từ các thông tin về hàm điều khiển  và hàm số đo  trong khoảng thời gian    ta có thể xác định được trạng thái ban đầu  đã nêu trên của hệ.

1.2 Các tiêu chuẩn về tính điều khiển được của hệ động lực tuyến tính

Định lí 1.1 (Tiêu chuẩn Kalman1): Hệ động lực tuyến tính hệ số hằng số mô tả bởi phương trình trạng thái cấp n.

Vậy hệ là điều khiển được.

Định lí 1.2 (Tiêu chuẩn Hautus1): Hệ động lực tuyến tính hệ số hằng số mô tả bởi phương trình trạng thái cấp n

1.3 Các tiêu chuẩn về tính quan sát được của hệ động lực tuyến tính

Trong bài toán điều khiển người ta thường đề cập đến việc thiết kế bộ điều khiển phản hồi các tính hiệu trạng thái hoạc các tính hiệu ra. Vấn đề muốn nói ở đây không phải là sự cần thiết của việc phản hồi mà phải làm thế nào để thực hiện được việc phản hồi những tín hiệu đó. Tất nhiên rằng tà phải đo chúng, phải xác định được giá trị của các tín hiệu cần phản hồi.

- Gia tốc không thể đo trực tiếp được mà phải được suy ra từ việc đo tốc độ trong một khoảng thời gian

- Giá trị công suất có thể có được nhờ việc đo dòng điện và điện áp.

   Để thống nhất chung, người ta sử dụng một khái niệm “Quan sát một tín hiệu”để chỉ công việc xác định tín hiệu gián tiêp thông qua các tín hiệu khác.

Định lí 1.3 (Tiêu chuẩn Kalman2): Hệ động lực tuyến tính hệ số hằng số mô tả bởi phương trình trạng thái cấp n và phương trình đo

Do vậy hệ là quan sát được:

Định lí 1.4 (Tiêu chuẩn Hautus2): Hệ động lực tuyến tính hệ số hằng số mô tả bởi phương trình trạng thái cấp n và phương trình đo

Vậy hệ là quan sát được hoàn toàn.

1.4 Thí dụ áp dụng

Xét mô hình dao động hai bậc tự do như trên hình 1.1. Trong đó là các kích động ngoài. Thiết lập phương trình trạng thái, phương trình đo của hệ để khảo sát tính quan sát được và điều khiển được của hệ.

Trong đó là ma trận đơn vị cấp hai, là các ma trận vuông cấp hai.

Trong bài toán này A la ma trận vuông cấp bốn (n=4). Do dó ma trận  theo tiêu chuẩn Kalman 2 có dạng.

Do đó theo tiêu chuẩn Kalman 1 hệ dao động khảo sát là điều khiển được hoàn toàn.

CHƯƠNG 2

ỔN ĐỊNH CÁC HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH

Bài toán về ổn định chuyển động đặc biệt là ổn định tiệm cận đóng vai trò rất quan trọng trong việc khảo sát chuyển động của cơ hệ. Các lý thuyết về ổn định được áp dụng nhiều trong thực tế, đặc biệt là các hệ dao động. Trong chương này trình bày một cách tóm tắt về lý thuyết ổn định, các tiêu chuẩn ổn định và ổn định hóa của các hệ đông lực tuyến tính hệ số hằng số.

2.1 Định nghĩa ổn định

2.1.1 Ổn định của hệ ôtônôm

Định nghĩa 2.1 .Với giả thiết hệ có vị trí cân bằng cô lập  được xác định từ phương trình . Vị trí  của điểm cân bằng  gọi là ổn định nếu với số  bé tùy ý có thể tìm được  

Không mất tính tổng quát ta có thể chọn =0 (bằng cách chuyển gốc tọa độ). Nói cách khác, ta khảo sát ổn định lân cận gốc tọa độ

2.1.2 Ổn định của hệ phi ôtônôm

Khảo sát hệ động lực phi ôtônôm có phương trình trạng thái.

2.2 Khảo sát ổn định của hệ động lực ôtônôm bằng phương pháp hàm Lyapunov

Phương pháp này dựa vào dáng điệu của một hàm được kí hiệu là hàm V (hàm Lyapunov) để nhận biết sự ổn định hoạc không ổn định của vị trí cân bằng. của phương trình (2.1) .Hàm V là hàm của các tọa độ pha V=V(x) , được giả thiết là đơn trị, liên tục và triệt tiêu tại gốc tọa độ

2.2.1 Hàm xác định dương

Định nghĩa 2.5. Một hàm vô hướng liên tục  được gọi là hàm xác định dương địa phương nếu  và . Nếu  và tính chất trên thỏa mãn trong tất cả không gian trạng thái thì  được gọi là hàm xác định dương toàn cục.

Nên hàm năng lượng theo biểu thức (2.6) của hệ khối lượng – lò xo – cản  là hàm xác định dương toàn cục.

2.2.2 Hàm Lyapunov

Định nghĩa 2.6. (định nghĩa hàm Lyapunov) hàm  là xác định dương có các đạo hàm riêng liên tục và đạo hàm của nó theo thời gian dọc theo một quỹ đạo trạng thái của hệ (2.7)  là xác định âm:  thì hàm  được gọi là hàm Lyapunov của hệ (2.1).

2.2.3 Sự ổn định của hệ động lực ôtônôm theo hàm Lyapunov

Định lý 2.1. (định lý về sự ổn định theo hàm Lyapunov).Nếu tìm được hàm Lyapunov và đạo hàm của nó xác định dựa vào hệ phương trình (2.1) thì vị trí cân bằng của nó là ổn định tiệm cận.

2.3. Ổn định của các hệ tuyến tính

Định lý 2.2. (tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov).

Hệ (2.9) là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các trị riêng của ma trận A là âm.

2.3.1 Các tiêu chuẩn ổn định dựa trên phương trình đặc trưng của ma trận A

Như trong trình bày ở mục trước vấn đề được đặt ra là xác định được sự phân bố các trị riêng của ma trận toàn hệ A. các trị riêng này lần lượt được xác định duy nhất như là các nghiệm của đa thức đặc trưng.

Bài toán xác định sự phân bố của nghiệm  trong mặt phẳng phức mà không phải giải phương trình =0 được nêu lên lần đầu tiên bởi Maxwell. Từ đó dấy lên một trong trào tìm lời giải cho một bài toán với hàng loạt các kết quả có tính kế thừa lẫn nhau xuất hiện vào nữa cuối thế kỷ 19 và kết thúc ở điểm đỉnh bằng hai định lý của Routh và Hurwitz cho trường hợp nghiệm được phân bố về nữa trái mặt phẳng phức của bài toán Maxwell. 

2.3.1.2 Tiêu chuẩn Hurwitz

Giả sử đa thức đặc trưng của ma trận A ở phương trình (2.9) đã cho có dạng như (2.11)

Hai cột đầu của ma trận Hurwitz được tạo từ các hệ số của đa thức đặc trưng. Các cột tiếp theo được tao ra thèo nguyên tắc: cột thứ k thu được từ cột thứ (k-2) bằng việc hạ tất cả các phần tử xuống một dòng và điền vào chổ trống phần tử 0. Nếu các định thức Hurwitz không triệt tiêu, mối quan hệ giữa tiêu chuẩn Routh và tiêu chuẩn Hurwitz được cho bởi.

2.3.2 Tiêu chuẩn ổn định theo phương trình ma trận Lyapunov

Do (2.23) phải thõa mãn với mọi quỹ đạo x(t) của (2.13), ta suy ra rằng (2.23) cũng phải được thõa mãn với các ma trận, vậy phương trình Lyapunov được tìm ra một cách chính xác. Nếu như tồn tại một ma trận xác định dương đối xứng  của phương trình (2.14) ứng với mỗi ma trận bán xác định dương đối xứng  thì khi đó các phương trình ổn định (2.16), (2.17) thõa mãn với  điều đó có nghĩa là hệ động lực tuyến tính (2.13) ổn định.

Ổn định tiệm cận khác với ổn định bởi thêm yêu cầu (2.24). Điều này có thể được thõa mãn. 

Do đó nếu tồn tại một quỹ đạo như (2.23), khi đó (2.26) cho thấy rằng điều kiện của tính quan sát được là không thỏa mãn

Để làm rỏ sự tương đương của các điều kiện (2.21) và (2.22) có vẻ hợp lý, ta có thể lựa chọn các kết quả của phần này thành hai định lý về sự ổn định và ổn định tiệm cẩn. Một định lý không ổn định cũng sẽ được trình bày ở đây, nhưng bỏ qua phần chứng minh.

* Ổn định tiệm cận:

Hệ tuyến tính bất biến với thời gian  là ổn định tiệm cận nếu nó tồn tại ít nhất đối với một (và khi đó với mỗi) ma trận nữa xác định dương đối xứng, thõa mãn điều kiện có thể quan sát được (2.25), một ma trận xác định đơng duy nhất  là lời giải phương trình Lyapunov (2.14)

* Không ổn định:

Hệ tuyến tính bất biến với thời gian là ổn định biên hay không ổn định khi đối với ít nhất một ma trận nửa xác định dương  , có tồn tại một ma trận đối xứng (không nhất thiết phải duy nhất) mà thõa mãn phương trình Lyapunov (2.13) và sao cho đối với ít nhất một trạng thái quan sát được

Theo định lý về ổn định tiệm cận thì khi đó hệ là hoàn toàn ổn định khi có ma trận R xác định dương

2.4 Tiêu chuẩn ổn định các hệ cơ học

Các tiêu chuẩn ổn định đã được trình bày trong phần trước có thể áp dụng cho các hệ dao động cơ học tuyến tính

Sau khi so sánh các khả năng khác nhau của việc phân tích tính ổn định của (2.32), có nghĩa là với sự giúp đỡ của các trị riêng và các hệ số đặc trưng của phương trình Lyapunov. Kết luận là phương pháp cuối có nhiều lợi thế hơn đối với các hệ cơ học. Khi áp dụng tiêu chuẩn trị riêng và tiêu chuẩn Routh-Hurwitz, cấu trúc đặc biệt của ma trận toàn hệ (2.33) không được áp dụng , có nghĩa là không có sự nghiên cứu nào được đưa ra đối với ý nghĩa vât lý  của ma trận riêng biệt M,D,G,K,N. Ngược lại, nếu vấn đề ổn định (2.32) được giải quyết nhờ phương trình ma trận Lyapunov, ta có thể đưa ra một sự giải thích vât lý cho các điều kiện ổn định thông qua các ma trận riêng biệt này. Sự ảnh hưởng của các lực khác nhau lên dáng điệu ổn định khi đó sẽ trở nên biết được.

Tại điểm này, ta có thể thấy rỏ ràng rằng ưu thế trong việc lập tiêu chuẩn ổn định tiệm cận có liên quan tới một ma trận nửa xác định dương S, với yêu cầu phụ thêm (2.25) thay cho yêu cầu S>0. Thật vậy, với cách tiếp cận này, ta có thể kiểm tra tính ổn định của hệ cơ học bằng các phương pháp của hàm Hamilton (2.34) và hàm hao tán (2.36)

Trong trường hợp ma trận độ cứng không suy biến, điều kiện (2.45) tương ứng với (2.47) luôn thỏa mãn với các hệ có cản hoàn toàn, có nghĩa là

Đối với sự có cản hoàn toàn, định lý về ổn định tiệm cận đối với hệ (2.42) được biết như là định lý của Thomson và Tait(1879)

Định lý về sự ổn định tiệm cận của các hệ có cản lan tỏa có tầm quan trọng rất lớn đối với kỹ thuật. Vì trong thực tế , tất cả các hệ cơ học bị cản lan tỏa, do có ma sát hay do cản vật liệu, một dáng điệu ổn định có thể xảy ra trong trường hợp N=0 chỉ khi độ cứng ổn định (2.43)  được đảm bảo. Vì thế, sự ổn định hóa bằng lực con quay của một hệ bảo toàn có thể được áp dụng chỉ cho các hệ dao động mà hoạt động của nó bị hạn chế trong một khoảng thời gian nhỏ, vì thế trong thực tế luôn luôn tồn tại các lực cản mà tác động của nó không gây hiệu ứng nào.

2.5 Ổn định hóa các hệ điều khiển tuyến tính

Cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển hệ động lực, bài toán ổn định hóa các hệ điều khiển, cũng được quan tâm và tìm được nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Dựa trên các kết quả về lý thuyết ổn định Lyapunov người ta tìm lời giải cho bài toán ổn dịnh hóa. Từ những kết quả đầu tiên về mối quan hệ giữa tính ổn định và tính điều khiển được của các hệ điều khiển, nhiều kết quả thú vị và có nhiều ứng dụng trong các bài toán kỹ thuật và công nghệ đã được công bố. Phần này sẽ trình bày cơ sở của bài toán ổn định hóa của hệ tuyến tính. Lý thuyết này là cầu nối giữa chương 1 và chương 2.

CHƯƠNG 3

ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CÁC HỆ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC BẰNG BỘ ĐIỀU KHIỂN LQR
 

3.1 Nguyên lý cực đại Pontryagin

3.1.1 Thiết lập bài toán

Trong đó x là véc tơ n chiều, u là véc tơ r chiều

Bài toán: Tìm điều khiển u để đối tượng được mô tả bằng hệ phương trình vi phân (3.1).

Pontryagin đã đề xuất nguyên lý để giải bài toán đặt ra được gọi là nguyên lý cực đại Pontryagin, thường được gọi tắt là nguyên lý tối ưu Pontryagin, hay nguyên lý Pontryagin

3.1.2 Nguyên Lý

Nếu hàm u  là điều khiển tối ưu, tức là đảm bảo phiếm hàm (3.3) cực tiểu (cực đại) thì hàm Hamilon H.

3.1.3 Lộ trình giải bài toán tối ưu theo nguyên lý Pontryagin

a) Bài toán

Trong trường hợp yêu cầu phiếm hàm (3.10) đạt cực tiểu (tức là hàm H đạt cực đại), chọn =1. Trong trường hợp ngược lại, tức là yêu cầu phiếm hàm (3.10) đạt cực đại (tức là hàm H đạt cực tiểu), chọn =-1

b) Lộ trình giải bài toán

Từ khảo sát trên, có thể thấy xây dựng lộ trình giải bài toán tối ưu như sau:

1. Xây dựng phương trình chuyển động của đối tượng điều khiển có dạng phương trình (3.1)

2. Xây dựng hàm mục tiêu có dạng (3.13)

3. Xây dựng hệ biến mở rộng (x,z).

Với các điều kiện biên như đã nêu ở đầu bài.

3.2 Điều khiển tối ưu các hệ tuyến tính liên tục bằng bộ điều khiển LQR (Linear Quadratic Regulator)

3.2.1 Thiết lập bài toán

Bài toán: Giả sử khi có nhiễu động, trạng thái của hệ bị đánh bặt ra khỏi vị trí cân bằng  chuyển động đến vị trí  nào đó. Bài toán đặt ra: tìm bộ điều khiển u=u(x) để đưa trạng thái của hệ từ  trở về điểm cân bằng 0, sao cho trong quá trình này sự tổn hao năng lượng được đánh giá bởi phiếm hàm mục tiêu

Bài toán này là bài toán điều khiển tối ưu tuyến tính bằng bộ điều khiển LQR (Linear quadractic regulator).

3.2.2 Xây dựng điều kiện cần của phiếm hàm mục tiêu

Giả sử , là một tín hiệu điều khiển được tạo ra từ bộ điều khiển F và thõa mãn điều kiện cực tiểu của hàm mục tiêu (3.22). Điều kiện có nghĩa là trong tập các tính hiệu  đưa trạng thái của hệ từ  thì  là vector thỏa mãn điều kiện.

3.2.3 Công thức xác định tín hiệu điều khiển R của

Định lý 3.2 đã chỉ ra rằng điều khiển tối ưu  biễu diễn tuyến tính qua hàm  Mặt khác khi có nhiễu động.

Đối với bộ điều khiển phản hôi F  làm việc theo nguyên tắc phản hồi âm cũng có công thức tương tự (3.53) thông cua việc thay K bởi –K

Kết luận: Bài toán điểu khiển tối ưu bằng bộ điều chỉnh toàn phương tuyến tính cần

Tất nhiên rằng định lý Sylvester nêu trên cũng được sử đụng để xác định tính xác định âm của một ma trận Q bằng cách kiểm tra xem ma trận –Q có xác định dương hay không. Nếu –Q xác định dương thì q xác định âm.

3.2.4 Phương pháp tìm nghiệm của phương trình Ricati

3.2.4.1 Phương pháp tìm nghiệm phương trình Ricati trực tiếp

Phương trình Ricati (3.53) không phải là phương trình tuyến tính nên cần có những phương pháp đặc biệt để tìm nghiệm. Tên gọi phương pháp tìm nghiệm trực tiếp ở mục này không có ý nói rằng ta sẽ giải trực tiếp phương trình Ricati mà ngược lại nó sẽ xác định K thỏa mãn (3.53) trực tiếp từ mục đính bài toán tổng hợp bộ điều khiển tối ưu.

3.2.4.2 Phương pháp truy hồi tìm nghiệm phương trình Riccati

Một phương pháp tìm nghiệm phương trình Riccati khác có ý nghĩa ứng dụng nhiều trong thực tế thuộc về Kleinman. [2]

Như vậy thuật toán của Kleinman có sử dụng them thuật tuán giải phương trình Lypunov. Hiện có khá nhiều phương pháp hữu ích phục vụ giải phương trình này. Nhiều phương pháp số chúng còn được cài đặt thành các công cụ chuẩn rất tiện ích. (chẳng hạn như lện Lyap của Mathlab).

*Với phương pháp truy hồi:

Khi khi đó sử dụng phương pháp phương pháp truy hổi tìm nghiệm phương trình Riccacti với sai số là 0.001 sau 31 bước lặp cho ta kết quả như bảng.

* Kết luận: Kết quả tính toán ở phương pháp truy hồi và phương pháp giải tích là hoàn toàn trùng khớp nhau.

CHƯƠNG 4

ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CON LẮC NGƯỢC DÙNG BỘ ĐIỀU KHIỂN LQR

4.1. Ổn định vị trí cân bằng của con lắc ngược

Xét một con lắc đơn được treo vào điểm treo tại O như hình 4.1

Các thông số của mô hình gồm:

- Khối lượng của thanh

- Chiều dài của thanh

- Mô men quán tính đối với tâm của thanh

- Là góc hợp bởi thanh với mặt phẳng thắng đứng

- Là khoảng cách từ O đến trọng tâm C của thanh

4.2. Điều khiển tối ưu hệ bằng bộ điều khiển LQR

Bài toán:

Khi gắn con lắc trên vào một xe đẩy với lực điều khiển theo phương ngang, ta tìm điều kiện của lực điều khiển để vị trí cân bằng tại gốc tọa độ từ không ổn định trở nên ổn định với điều kiện thêm lực vào là tối ưu về năng lượng điều khiển.

4.2.1 Bài toán xác định vị trí cân bằng của con lắc

Hệ xe cần trục có dạng như trên hình 4.2

Các thông số của mô hình gồm:

- Khối lượng của xe

- Khối lượng của thanh

- Chiều dài của thanh

- Mô men quán tính đối với tâm của thanh

- Là góc hợp bởi thanh với mặt phẳng thắng đứng

- Lực điều khiển

- là khoảng cách từ O đến trọng tâm C của thanh

Do vậy ta có: . Áp dụng định lý Kalman1 ở chương 1 ta có hệ là điều khiển được trong lân cận điểm cân bằng.

4.2.2 Bài toán điều khiển

Với mô hình con lắc ngược gắn với xe như ở mục 4.2.1. Vị trí cân bằng thẳng đứng không ổn định. Bài toán đặt ra, ta đặt thêm vào một lực nằm ngang u(t). Thông qua hàm u(t) vị trí cân bằng thẳng đứng của hệ không ổn định trở nên ổn định. Hàm u(t) được chọn sao năng lượng tiêu hao là cực tiểu trong quá trình điều khiển con lắc ngược .

Thực hiện mô phỏng số bằng phần mềm Matlab 2012a ta tính được ma trận K nhờ lệnh lqr sau đó tính được luật điều khiển , từ đó thay vào phương trình vi vân chuyển động của hệ cho ta các kết quả sau.

4.3. Nghiên cứu ổn định của vị trí cân bằng của con lắc kép ngược

Xét một con lắc kép được treo vào điểm treo O như hình 4.4

Các thông số của mô hình gồm

- Khối lượng của thanh thứ nhất

- Khối lượng của thanh thứ hai

- Chiều dài của thanh thứ nhất

- Chiều dài của thanh thứ hai

- Mô men quán tính đối với khối tâm của thanh thứ nhất

- Mô men quán tính đối với khối tâm của thanh thứ hai

- Góc hợp bởi thanh thứ nhất với mặt phẳng thẳng đứng

- Góc hợp bởi thanh thứ hai so mặt phẳng thẳng đứng

- Khoảng cách từ O đến trọng tâm  của thanh thứ nhất

- Khoảng cách từ A đến trọng tâm của thanh thứ hai

4.4 Điều khiển hệ xe con lắc kép ngược bằng bộ điều khiển LQR

Bài toán:

Khi gắn con lắc kép trên vào một xe đẩy với lực điều khiển theo phương ngang, ta tìm lực điều khiển để vị trí cân bằng thẳng đứng tại gốc tọa độ từ không ổn định trở nên ổn định với điều kiện tối ưu về năng lượng điều khiển

Hệ xe con lắc kép ngược có dạng như trên hình 4.5

Các thông số của mô hình gồm:

- Khối lượng của xe

- Khối lượng của thanh thứ nhất

- Khối lượng của thanh thứ hai

- Chiều dài của thanh thứ nhất

- Chiều dài của thanh thứ hai

- Mô men quán tính đối với khối tâm của thanh thứ nhất

- Mô men quán tính đối với khối tâm của thanh thứ hai

CHƯƠNG 5

ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU HỆ THỐNG TREO ¼ Ô TÔ BẰNG BỘ ĐIỀU KHIỂN LQR

Ngành công nghiệp ô tô trên thế giới đang phát triển mạnh mẽ. Các nước có nền công nghiệp ô tô phát triển tập trung nghiên cứu theo hướng nâng cao tính tiện nghi, độ an toàn chuyển động, an toàn môi trường và chất lượng phương tiện. Để có thể đạt được điều đó, hiện nay trên ô tô nhiều hệ thống điều khiển tự động được nghiên cứu phát triển và ứng dụng. Nhiều hệ thống cơ học thuần tuý được thay thế bởi hệ thống cơ - điện tử với hàm lượng công nghệ thông tin, kỹ thuật điều khiển tự động và tự động hoá ngày càng tăng lên.

5.1. Xây dựng mô hình dao động ¼ ô tô với hệ thống treo bị động

5.1.1 Mô hình ¼ ô tô với hệ thống treo bị động

Để thực hiện quá trình khảo sát, tính toán và mô phỏng, ta sẽ xây dựng mô hình dao động của ô tô với hệ thống treo bị động. Gọi m_s là khối lượng của phần được treo, bao gồm khối lượng của khung xe, thân xe, hàng hóa, hành khách, các hệ thống và cụm tổng thành lắp trên khung; m_u là khối lượng phần không được treo bao gồm khối lượng của bánh xe, trục xe. 

* Nhận xét: Mô hình ¼ xe nêu trên là một mô hình đơn giản nhất nhưng cũng đã mô tả được các bộ phận của hệ dao động ô tô như khối lượng được treo, hệ thống treo, khối lượng không được treo và kích thích mặt đường; mô tả được mối quan hệ vật lý của các phần tử trong quá trình dao động, đồng thời khảo sát được các thông số cơ bản có ảnh hưởng tới các dao động quan trọng của cả hệ như các thông số về vị trí, vận tốc, gia tốc thẳng đứng của thân xe, không gian làm việc của hệ thống treo, lực động tác dụng giữa lốp và mặt đường.

Tuy nhiên ở mô hình ¼ xe này có hạn chế là chưa xét đến sự dao động khác nhau của trục trước và trục sau, không xét đến được chuyển động lắc ngang, lắc dọc của thân xe.

5.1.2 Xây dựng hệ phương trình vi phân chuyển động

Trong phần này, ta sẽ xây dựng phương trình vi phân chuyển động cho mô hình ¼ và mô hình ½ ô tô với hệ thống treo bị động. Để xây dựng các phương trình này, ta sử dụng phương trình Lagrange loại 2

Phương trình (5.8) là phương trình vi phân chuyển động của mô hình ¼ ô tô với hệ thống treo bị động dạng ma trận.

5.1.3 Xây dựng phương trình trạng thái

Phương trình (5.12) là phương trình trạng thái của mô hình hệ thống treo ¼ bị động.

5.1.4 Xác định các thông số của mô hình dao động ¼ với hệ thống treo bị động

5.1.4.1 Phương pháp xác định [10]

Hệ thống treo bị động bao gồm 2 phần tử cơ bản là phần tử đàn hồi và phần tử giảm chấn. Đối với hệ thống treo này, độ cứng của phần tử đàn hồi và hệ số cản giảm chấn được xác định theo tiêu chuẩn đánh giá độ êm dịu chuyển động.

a) Tính độ cứng bộ phận đàn hồi

Trong quá trình tính toán, thiết kế, ta sử dụng tần số dao động riêng làm cơ sở để lựa chọn các thông số cơ bản của bộ phận đàn hồi.

Các công thức trên cho thấy thông số cơ bản quyết định độ êm dịu chuyển động là độ võng tĩnh, độ võng tĩnh lớn thì tần số dao động nhỏ và xe có độ êm dịu tốt hơn và ngược lại với độ võng tĩnh nhỏ thì tần số dao động lớn và xe có độ êm dịu kém hơn. 

5.1.4.2. Thông số kỹ thuật của xe cơ sở khảo sát [11]

Hệ thống treo mà ta xét là hệ thống treo lắp trên xe MITSUBISHI PAJERO SPORT KG4WGNMZLVT5 với hệ thống treo cầu trước độc lập, hệ thống treo cầu sau phụ thuộc và cả hai đều có phần tử đàn hồi là lò xo trụ, giảm chấn thủy lực. Ô tô này được thiết kế trên cơ sở nhập khẩu các chi tiết, tổng thành từ Thái Lan, sau đó lắp ráp tại Việt Nam. Các thông số kỹ thuật cơ bản của ô tô MITSUBISHI PAJERO SPORT KG4WGNMZLVT5 được đưa ra như bảng 5.1 dưới đây.

5.1.5.3. Xác định các thông số của hệ thống treo

a) Mô hình toàn xe

* Xác định độ cứng phần tử đàn hồi

Chọn tần số dao động riêng của hệ n=75 dao động/phút.

b) Mô hình ½ ô tô

Dựa vào các thông số kỹ thuật cơ bản của ô tô MITSUBISHI PAJERO SPORT KG4WGNMZLVT5 và thống số thiết kế của hệ thống treo, ta sẽ tính toán và lựa chọn các thông số của mô hình ½ ô tô trong trường hợp khi đầy tải như sau:

- Khối lượng được treo của mô hình ½ bằng một nửa của tổng khối lượng được treo phân bố lên cầu trước và cầu sau của mô hình toàn xe.

- Mô men quán tính của mô hình ½ là 1450 kg.m².

- Khối lượng không được treo cầu trước và cầu sau của mô hình ½ lần lượt bằng một nửa của khối lượng không được treo cầu trước và cầu sau của mô hình toàn xe.

5.2. Xây dựng luật điều khiển và khảo sát chuyển động mô hình ¼ ô tô với hệ thống treo bán chủ động

5.2.1. Xây dựng phương trình vi phân chuyển động

Hình 5.3 là mô hình ¼ ô tô với hệ thống treo bán chủ động. Các ký hiệu trên hình vẽ bao gồm:

- m_s, m_u : là khối lượng được treo và khối lượng không được treo.

- k_s, b_s, b_semi : là độ cứng, hệ số cản cố định và hệ số cản thay đổi của giảm chấn chủ động của hệ thống treo.

- k_t : là độ cứng của lốp.

- z_s, z_u : là dịch chuyển của khối lượng được treo, khối lượng không được treo so với vị trí cân bằng.

- z_r : là kích thích mặt đường.

5.2.2. Xây dựng mô hình trạng thái

Đối với hệ thống treo ô tô, đầu ra cần đo thường là dịch chuyển tương đối giữa khối lượng được treo và khối lượng không được treo (z_s-z_u). 

Với A, B, L, C xác định ở (5.33) và (5.35).

5.2.3. Thông số của mô hình ¼ ô tô với hệ thống treo bán chủ động

Từ bảng thông số của mô hình ¼ ô tô (Bảng 5.2), ta có các thông số của mô hình ¼ ô tô với hệ thống treo bán chủ động như bảng 5.3 

Ta thấy các ma trận đường chéo của ma trận Q đều có định thức dương do đó Q là ma trận đối xứng xác định dương.

Như vậy Q, R là các ma trận đối xứng xác định dương nên bài toán điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu (LQR) có nghiệm.

5.5 Kết quả mô phỏng

Dưới đây là đồ thị khảo sát dao động của mô hình ¼ ô tô với hệ thống treo bị động (đường Passive), hệ thống treo bán chủ động điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu (đường Optimal) thời gian mô phỏng là 10s

KẾT LUẬN

   Cơ điện tử là một lĩnh vực khoa học liên nghành: cơ học, điện tử, tin học và tự động hóa. Cơ điện tử được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học như: chế tạo máy, ô tô máy kéo, kỹ thuật robot, máy chính xác, kỹ thuật y học…Trong đó bài toán điều khiển các hệ cơ học là một trong những vấn đề trọng tâm của lý thuyết cơ điện tử.

   Trong đồ án này, tác giả đã trình bày những khái niệm cơ bản về lý thuyết về tính ổn định, tính điều khiển được, tính quan sát được của các hệ động lực, các lí thuyết về ổn định hóa và quá trình điều khiển tối ưu. Tiếp theo là những áp dụng vào các hệ cơ học. Cụ thể là áp dụng vào mô hình con lắc ngược và mô hình  ¼ ô . Trong mô hình con lắc ngược, tác giả đã trình bày chi tiết từng việc lập phương trình chuyển động sử dụng phương trình Lagrange loại II, đưa về phương trình trạng thái và xác định tính ổn định, tính điều khiển được, quan sát được của hệ,đông thời áp dụng các kết quả về điều khiển tối ưu ở chương trước vào mô hình và đưa ra các kết quả mô phỏng số bằng phần mêm Matlab. Đối với mô hình ¼ ô tô tác giả cũng đã thiết lập phương trình vi phân chuyển động đồng thời áp dụng phương pháp điều khiển bị động và điều khiển tối ưu vào hê cuối cùng là kết quả mô phỏng số sử dụng phần mềm Matlab-Simulink.Từ đó đưa ra được so sánh giữa hai phương pháp .

   Tuy nhiên, sự hạn chế về thời gian và yêu cầu môn học, trong đồ án này tác giả chỉ mới nghiên cứu điều khiển sự ổn định của mô hình con lắc ngược và  ¼ ô tô. Về hướng nghiên cứu tiếp theo tác giả sẽ  mở rộng nghiên cứu cho mô hình con lắc ngược có kết cấu phức tạp hơn, mô hinh  ½ ô tô và hơn nữa là mô hình toàn xe

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Nguyễn Văn Khang: Cơ học kỹ thuật (tái bản). NXB giáo dục Hà Nội 2012

2. Nguyễn Văn Khang: Động lực học hệ nhiều vật. NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2007.

3. Nguyễn Văn Khang, Chu Anh Mỳ: Cơ sở robot công nghiệp. NXB giáo dục, Hà Nội 2011.

4. Nguyễn Văn Khang: Bài giảng động lực học hệ nhiều vật nâng cao. Trường đại học Bách Khoa Hà Nội 2014.

5. Nguyễn Văn Khang: Dao động kỹ thuật. NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2004.

6. Nguyễn Doãn Phước: Lý thuyết điều khiển tuyến tính. NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2004.

7. Nguyễn Doãn Phước: Lý thuyết điều khiển phi tuyến. NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2003.

8. Nguyễn Doãn Phước: Lý thuyết điều khiển nâng cao. NXB Khoa học vs Kỹ thuật, Hà Nội 2005.

9. Đỗ Sanh: Ổn định của hệ động lực và các áp dụng kỹ thuật. NXB Bách Khoa, Hà Nội 2010.

Tiếng Anh

17. P. C. Muller and W. Schiehlen: Linear Vibrations. Martinus Nijhoff Publishers Dordrech 1985

18. Lee, E. B. ; Markus, L: Foundations of Optimal Control Theory. John Wiley and Sons, NewYork 1967

19. Brian D.O. Anderson, John B. Moore: Optimal Control Linear quadratic methods. Prentice-Hall International, Englewood Cliffs, New Jersey, 1989.

20.  H. Wener: Lecture Notes Optimal and Robust Control. TU Hamburg-Harburg, 2009.

21. D.J Inman: Vibration with Control. John Wiley and Sons, Chichester 2006.

"TẢI VỀ ĐỂ XEM ĐẦY ĐỦ ĐỒ ÁN"